登錄站點

用戶名

密碼

註冊

興趣聯盟 - 索瑪立方塊

  • wang

    http://www.chiuchang.org.tw/download/pmwc/somacube.pdf

    wang 2010-02-10 19:33
    􀧶􁂳􀏲􀍞􀹴􀄞Soma Cube􀄟􀀡
    一、 索瑪立方塊的誕生
    索瑪立方塊是由丹麥詩人及科學家皮亞特•海恩(Piet Hein)發明的。1936 年,皮亞特•
    海恩是在聆聽偉納•海森伯格演講「量子物理」的場合,構思出索瑪立方塊的。當時這位德
    國物理學家正在講述把空間切割成立方體。皮亞特•海恩敏銳的想像捕捉到以下的幾何原理:
    將4 個以內,大小相同的立方體,以面相連接,構成的所有不規則形狀,可以重組成一
    個較大的立方體。
    海森伯格還在演講,海恩已經很快地在紙上塗塗畫畫,確定這總體積為27 個單位的7 片
    形狀可以組成一個3×3×3 的立方體。演講結束後,他把27 個單位立方體黏成這7 個形狀,並
    很快地證實他的想法。索瑪立方塊從此誕生。
    1969 夏,派克兄弟公司(Parker Brothers Inc.)首度將索瑪立方塊上市。在此之前,馬丁•
    嘉德納(Martin Gardner)曾撰文在《科學美國人(Scientific American)》的數學遊戲專欄中
    介紹過,並使它風靡全球。索瑪立方塊可以用來協助人們增進空間關係的思維技能,它能讓
    人們沈迷數小時享受探索的樂趣。
    二、 索瑪立方塊的配件
    索瑪立方塊的基本結構是單位正方體。
    2 個單位正方形以面相連接,只有1 種形狀(旋轉、翻轉視為相同),但它是規則1的長方
    體,不符合皮亞特•海恩的設計原意,所以不採用。
    3 個單位正方形以面相連接,有2 種形狀,但右邊成「I」字型的那片是長方體,不採用。
    4 個單位正方形以面相連接,有8 種形狀,其中「I」字型及「田」字型是規則形狀,亦
    不採用。
    1所謂「不規則形狀」在數學上稱作凹多面體──多面體上能找到相異的二點,使得此二點的連線不全在多面體
    的內部。長方體任二點的連線都在它的內部。
    中有陰影的7 片,就是索瑪立方塊的組件。這7 片組件的總體積為27 單位,可以重
    拼成3×3×3 的正立方體。
    三、 索瑪立方塊組件的編號與配色
    為了方便對索瑪立方塊進行研究及記錄,我們把每片組件編上號碼1∼7,如果圖形是由
    二套索瑪立方塊拼成,則第二套索瑪立方塊用V、L、T、Z、A、B、P 作為編號。
    此編號是國際通用的,只須用編號,而不用繪圖就可和全世界的索瑪迷進行交流。彩色索瑪
    立方塊的配色方法是採用Conway 的建議,方便我們對拼出的作品進行分類。
    如果你困惑於辨認哪片是5 號,哪片是6 號?我們教你一個簡易的辨認規則:豎起大姆
    指,則5 號的形狀像我們的左手,6 號的形狀像我們的右手,阿拉伯數字的寫法依序是由左
    到右的,所以左=5,右=6。3 號及4 號的外型很像阿拉伯數字的3 和4,應不難辨
    認。1 號、2 號都是L 形,1 號是最小的3 單位那片;2 號則是4 單位那片。剩下的7 號無論
    從那個方向翻轉,它都是對稱的。
    另外,我們把七片索瑪立方塊組件用黑、白相間塗色,這可以方便我們作一些數學證明。
    四、 索瑪立方塊DIY
    我們可以利用木塊或保利龍切成等大之小正立方體,然後用白膠將它們黏接成索瑪立方
    塊組件的造型。現在我們用單位摺紙的方式製作索瑪立方塊。
    首先您必須準備122 張正方形的色紙(也可利用家中廢棄的包裝紙、月曆紙裁切)。正
    方形的邊長大小不拘,視您希望的成品大小而定,適當的尺寸是8∼12 公分。裁切的正方形
    要儘量精確,否則成品會歪七扭八。
    (一)製作配件
    1. 首先沿直線 A 對摺,再展開。然後沿直線B、C 對摺。
    2. 接著沿直線 D、E 摺,再把全張紙展開。
    3. 依照圖七把 F、G 向摺起來。→把H 摺起來。→把三角形I 及梯形J 摺起來。→把三角形
    K 摺起來塞進L 底下。→最後把三角形M 及N 往下摺,留下摺痕P,即完成一個配件。
    4. 重複上述步驟,每個正立方體需要 6 個配件。
    5. 現在依圖八把 6 個配件合併在一起成為小正立方體。(注意:要把每個配件兩端的三角形
    如下圖方式塞入另一配件中
    (二)製作索瑪立方塊組件
    要製作編號1 號的索瑪立方塊組件,可以不用3 個小立方體,只要用14 個配件構造這個
    索瑪立方塊組件的外殼即可;也就是說2 個小立方體交接的部份是空的。
    用14 個配件作成的1 號索瑪立方塊組件如圖十。繼續摺出其它的108 個配件,製作索瑪
    立方塊其它的6 個組件,每個索瑪立方塊組件都只需要18 個配件。依索瑪立方塊組件的造型
    逐步連接它即可完成。
    完成後,可以在接縫處塗上膠水使它更堅固。最後,還可以作個小紙盒子包裝它,使它
    便於攜帶。
    五、 索瑪立方塊解答的記號
    為了便於記錄拼完成的圖形,國際上通常以此圖形的正投影作為圖形的基底,由最上層
    至最底層,逐一在相對位置上填入索瑪立方塊組件的編號,空白的部份用黑點代表(不會導
    致混淆時亦可省略),即有空洞的位置寫上「0」或「•」。這些記號稍加變化即可變成電腦
    也能讀懂的語言。例如,圖十二的記錄方法為:
    六、 索瑪立方塊拼圖
    (一) 單組索瑪立方塊的拼圖
    簡單的七片索瑪立方塊組件,可以構造變化萬千的圖形,有動物、傢俱、建築、飛機…
    等可愛的造型。
    索瑪立方塊拼圖的基本技巧是試著以其中2 片拼成圖十三之階梯式樣。
    圖十四可用索瑪立方塊組件中的3 片拼成, 而圖十五則是用另外的4 片拼成。
    如果取出最小的1 號這片,用其它的6 片可以拼成與它相似,且放大為2 倍的造型。
    掌握上述的小問題後,便可試著用7 片組成3×3×3 立方體,這是索瑪立方塊最簡單的造
    型之一。它有非常多種拼法,下面是一個非常特別的構造方法,先用其中的2 片及5 片拼成
    ,再將二個圖形合併在一起即可。
    (二) 雙組索瑪立方塊的拼圖
    利用兩組索瑪立方塊一起拼圖,不僅挑戰難度加大,樂趣也加倍,,
    七、 索瑪立方塊的數學
    (一) 可以放在什麼位置?
    當我們用索瑪立方塊拼圖時,最常用的方法是嘗試錯誤,先用一片定位(最上策是挑選
    較不規則且必須佔兩層的5 號、6 號、7 號),然後試著逐一將其它幾塊嵌入,錯了從頭再來
    過。用嘗試錯誤的方法如果運氣好正好碰上了,很快就可拼成,有時運氣不佳,試了很久仍
    不得其門,甚至經常重複之前試過的步驟,一再犯錯而不自知。如果能仔細觀察與作些數學
    分析,將使您嘗試的步驟減少很多,並避開一些明顯的錯誤,使事半功倍。
    我們以拼成3×3×3 的正方體為例。一個正立方體有6 個面、8 個頂點、12
    條邊。我們若把頂點所在的8 個單位立方體塗上顏色,則索瑪立方
    塊的各組件能佔住角落的數量如下表:
    組件編號 1 號 2 號 3 號 4 號 5 號 6 號 7 號
    可能佔住角落數 0 或1 0、1 或2 0 或2 0 或1 0 或1 0 或1 0 或1
    如果3 號組件佔住0 個角落,則即使2 號佔住2 個角落,其它的組件各佔住1 個角落,
    則全部組件最多也只能佔住7 個角落,這樣就無法拼出有8
    個角落的正立方體。
    組件編號 1 號 2 號 3 號 4 號5 號6 號7 號
    可能佔住角落數 1 2 0 1 1 1 1
    因此,3 號組件必須佔住2 個角落,也就是說,它必須放置在邊緣的位置上。
    我們若把3×3×3 的立方體,黑白相間塗色,並使角落塗上黑色,則此立方體有14 個單位
    立方體是黑的,13 個是白的。把索瑪立方塊的7 片組件置入,其所佔位置的黑
    白數量可能值如下表所示:
    組件 1 號 2 號 3 號 4 號 5 號 6 號 7 號 總數
    黑 2 或1 2 3 2 2 2 3 或1 14
    白 1 或2 2 1 2 2 2 1 或3 13
    以3 號組件為例,它在3×3×3 的正立方體內可能的位置
    由表中可知組件2 號、4 號、5 號、6 號無論放置在那個位置,都會佔住2 黑2 白。由前
    面的結論得知,3 號組件必須放置在邊緣處,也就是說,它必須在佔有3 黑1 白的位置。目
    前,2 號、3 號、4 號、5 號、6 號等5 片組件共佔住11 黑9 白。由此推論,1 號及7 號組件
    必須佔3 黑4 白,可得知,7 號必須佔住1 黑3 白,1 號必須2 黑1 白,否則將不合。
    (二) 有多少組解?
    尋求某個索瑪立方塊拼圖共有多少組結構完全不同的解,是非常有趣的數學問題。要證
    明這類的問題並不容易,首先你要實證所宣稱的每一個解都可以達成,然後,你必須證明沒
    有其它的解。
    在派克兄弟公司的索瑪立方塊手冊上宣稱:John Horton Conway 和M. J.T. Guy 二位劍橋
    大學的數學家,首先提出將索瑪立方塊組件組成3×3×3 立方體的方法有240 種結構完全不同
    的解,並經過電腦程式證實。事實上,Conway 和Guy 兩人是在一個下雨的午後,閒著沒事,
    用雙手拼解出來的。Conway 特別強調:「我認為像索瑪立方塊這種尺寸,若要用到電腦,就
    等於承認挫敗了。只要找到正確的方法,用雙手完成比設計程式要快多了。」
    Conway 和Guy 兩人後來發現,由239 種解法(有一個解法異常)中的任一種開始著手,
    其餘的238 種解答,可經由每次改動三片以下的組件而逐步解出。Conway 並畫了一大張圖表
    (他稱之為索瑪譜),顯示這239 種解法彼此之間的關聯。在他倆合著的《Winning Way》書
    中第802、803 頁可找到此圖譜。
    一個正立方體的對稱立方體有48 個(假設固定最上層的面,經旋轉有4 種,6 個面均可翻
    轉到最上層,如此即有24 種。每一種都有一個鏡像(Mirror image),故共有48 種)。相同的位
    置上,7 號組件有三種對稱的放置方式,1 號、3 號、4 號、5 號、6 號組件各有2 種對稱的放
    置的方式。因此,用七片索瑪立方塊拼成3×3×3 立方體如果不論結構是否相同,其所有解答
    的個數為240×48×3×2×2×2×2×2=1105920。
    對於將索瑪立方塊組成3×3×3 立方體的方法有240 種結構完全不同的解這個結論,新竹
    市光華國中的賴俊儒同學(現就讀台大電機系)在其科展作品中提出不同的見解:「索瑪立方塊
    組成3×3×3 立方體結構完全不同的解法應為480 種,把鏡像視為相同是不合理的。」他的理
    由為:
    1. 某組解的鏡像必須把 5 號組件及6 號組件互換。如此,兩組解各層的記錄數字記號不相同。
    2. 海恩對索瑪立方塊的定義是:「There are seven soma pieces composed of all the irregular
    face-joined cubes (polycubes) with ≦ 4 cubes. The object is to assemble the pieces into a cube.
    No two shapes are alike, although 5 and 6 are mirror images of each other.」他明確指出組件5
    與6 是不同的兩種組件,若將鏡像當作相同則與定義不符。
    3. 索瑪立方塊是實物而非影像,以物理學而言,實物與虛像很難視為相同。
    4. 我們不能照著鏡子,切下左右手互換,再認為鏡中是同一人。
    同時,賴俊儒也將480 種解法加以系統分類及繪製了兩大張「索瑪圖譜」。
    在數學上,我們經常把同性質的物件算為一類。Conway 當然可以把鏡像的解計數為同一
    類。因此,我們宣稱索瑪立方塊拼成3×3×3 正立方體的解時,應加上註解:「如果把它的鏡像視為相同,則有240 種結構不同的解;或如果把它的鏡像視為不相同,則有480 種結構不同
    的解。」
    研究問題
    1. 如果把索瑪立方塊的組件依下圖方式黑白相間塗
    色,請問黑白相間且頂點為黑色的3×3×3 正立方體
    結構不同的解有多少種?如何證明?
    2. 美國 Design Science Toys 公司出品了一組斜索瑪立
    方塊,它把索瑪立方塊設計成傾斜的,它的每個面都變成菱
    形的,數學上稱它為菱形體。該公司宣稱它結構不同的解答
    只有一種,你相信嗎?你能證明嗎?
    (三) 可不可能拼成?
    並不是任何體積為27 單位的圖形都可以用索瑪立方塊拼
    成,例如:圖二十六即不可能拼出。
    圖二十六不可能用索瑪立方塊拼出的證明是由加州理工學院噴射
    推進實驗室的數學家所羅門•W•哥隆(Solomon W. Golomb)首先發現
    的。他將圖形的底盤,依下圖二十七的方式黑白交錯塗色,底盤塗黑色之
    上的整柱小立方塊都塗黑色,底盤塗白色之上的整柱小立方塊都塗白色。
    全圖形共有19 個黑色,8 個白色。
    他的證明是:檢視7 片索瑪立方塊組件,以各種方向把它們一一放在
    圖形內,求取它所佔黑色方塊最大數目,此時,它佔用白色方塊數最少。以下統計表列出了
    每一塊的可能數:
    索瑪立方塊組件編號 1 號 2 號 3 號4 號5 號6 號7號總數
    結果這七片索瑪立方塊組件最多可以佔用18 黑和最少佔用9 白,比圖形的19 黑8 白多
    了1 白,因此不可能拼成。
    研究問題
    你能用索瑪立方塊組件拼出圖二十八中的圖形嗎?如果能,請拼出它;如果不能,請給
    證明。(四) 放多少片?
    1. 在 6×6×6 的立方體盒子中,最多可以放入3 號組件多少片?為什麼?
    在6×6×6 的立方體盒子中,最多可以放入4 號組件多少片?為什麼?
    在6×6×6 的立方體盒子中,最多可以放入5 號組件多少片?為什麼?
    在6×6×6 的立方體盒子中,最多可以放入6 號組件多少片?為什麼?
    2. 能不能用 3 號組件拼成一個長方體?如果能,最少要多少片?
    能不能用4 號組件拼成一個長方體?如果能,最少要多少片?
    八、 SOMAplus
    SOMAplus 是將被皮亞特•海恩(Piet Hein)捨棄的4 個規則長方體加進來(編號如圖二
    十九),用這11 個組件,可以組成一個2×4×5 的長方體
     
    ◎皮亞特•海恩小史
    皮亞特•海恩(Piet Hein, 1905∼1996)是具有廣泛興趣的丹麥詩人及科學家。他的詩集
    在丹麥以筆名「Kumbel」著稱,擁有數百萬計的讀者。他最有名的詩集叫《Grooks》,這是
    他在1940 年當納粹侵佔丹麥時寫的。當時他是反納粹組織的首領,組織轉入地下活動後,他
    致力寫詩。根據資料,《Grooks》賣了7000 多本,當時麻省理工學院出版社在美國出版此詩
    集後,它一度榮登紐約時報暢銷書排行榜。
    皮亞特•海恩具有多方面的天才。除了發明索瑪立方塊外,他也創建了一個新的幾何型
    體—「超橢圓」,它近似於長方形及橢圓之間,這個形體也可以成為三度空間稱之為「超級蛋」
    或「超級橢圓體」。
    在五十到六十年代,皮亞特•海恩從事藝術及建築工作,他設計了一些造型優美的傢俱
    並努力推展「北歐設計」的商品形象,使他成為國際精品的表徵。在國際上,他經常試圖在
    「硬」的科技與「柔」的人文之間建立橋樑。
    皮亞特•海恩的創造力證明他是思維聰穎縝密的人—用他的左腦創造索瑪立方塊及超橢
    圓,用他的右腦創作詩集及散文。他在數學及科學上的貢獻可與波爾(Niel Bohr)與愛因斯
    坦(Albert Einstein)並駕齊驅。事實上,他曾與愛因斯坦共事多年,也曾是哥本哈根的波爾
    研究所的一員。
    不僅是皮亞特•海恩如此傑出聰明,他的父親是個土木工程師,其最著名的設計是哥本
    哈根Tivolo 遊樂園的雲霄飛車。他的母親是位眼科醫師。皮亞特•海恩有二個兒
  • ZAX
    #1
    ZAX 2010-02-13 14:12
    我還是比較喜歡魔術方塊的說...
你還不是該群組正式成員,不能參與討論。 現在就加入